Contents

Contents Contents I Classical and Semiclassical Light–Matter Interactions Classical Atom–Field Interactions 1.1 Polarizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Connection to Dielectric Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Damping: Lorentz Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Oscillator Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dipole Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Damping Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Atom Optics: Mechanical Effects of Light on Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Dipole Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.1 Dipole Potential: Standard Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.2 Photon Scattering Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.3 Optical Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.4 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Radiation Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Laser Cooling: Optical Molasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3.1 Doppler Cooling Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3.2 Magneto-Optical Trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Cooperative Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Atom–Mirror Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Two-Atom Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classical Coherence 2.1 Wiener–Khinchin Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Optical Wiener–Khinchin Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Michelson Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Example: Monochromatic Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Spectrum of Atomic Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Normalized One- and Two-Sided Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Visibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Coherence Time, Coherence Length, and Uncertainty Measures . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Interference Between Two Partially Coherent Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Second-Order Coherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Thermal Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Experiment of Hanbury Brown and Twiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Phase Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 2.7.1 Spectra of Phase and Frequency Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Variance of Phase Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Spectrum of the Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3.1 Example: White Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Optical Linewidth Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Photodetection Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Heterodyne Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2.1 Example: White Noise in Heterodyne Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Self-Heterodyne Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3.1 Example: White Noise in Self-Heterodyne Spectroscopy . . . . . . . . . . 2.8.3.2 Calculation of General Self-Heterodyne Spectra . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3.3 Self-Heterodyne Spectrum of 1/f Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3.4 Observation Time and Linewidth of 1/f Noise . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rate-Equation Model 3.1 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fundamental Light–Atom Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Einstein Rate Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Relations Between the Einstein Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Line Shape and Spectral Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Broadband Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Nearly Monochromatic Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Absorption Coefficient and Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Quantum State 4.1 Density Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 The Density Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Purity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Pictures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Unitary Time-Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.1 Infinitesimal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2 Differential Equation for the Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.3 General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Schrödinger vs. Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1 Heisenberg Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Interaction Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Wigner Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Marginal Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Overlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Sample Wigner Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4.1 Gaussian State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4.2 Coherent Superpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4.3 Harmonic Oscillator States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Weyl Correspondence and Operator Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5.1 Weyl’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5.2 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5.3 Weyl Correspondence: Inverse Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 4.3.5.4 Weyl Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Operator Products and Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Moyal Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.8 Summary: Defining Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.9 Other Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.9.1 Husimi or Q Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.9.2 P Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.9.3 Standard-Ordered Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.9.4 Antistandard-Ordered Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Multiple Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Merging Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.1 Cloning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Peres–Horodecki Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.1 Wigner Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.2 Generalized Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.3 Sufficiency for Gaussian States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Indistinguishability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4.1 Exchange ‘‘Force’’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Open Systems: Church of the Larger Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Interaction Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Born–Markov Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Two-Level Atom Interacting with a Classical Field 5.1 Atom–Field Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Parity and the Dipole Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Rotating-Wave Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Rabi Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Rotating Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.1 Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5.2 Digression: Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Rabi Flopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Resonant Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.1 Example: Initially Unexcited Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Nearly Resonant Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1 Example: Initially Unexcited Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dressed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Rabi Oscillations in the Dressed-State Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Adiabatic Passage and Landau–Zener Crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Bloch Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Atomic Timekeeping and Ramsey Fringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Spin Echoes and Photon Echoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Adiabatic Following . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Optical Bloch Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Steady State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Damped Rabi Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2.1 Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2.2 Torrey’s Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2.3 Exact Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 5.5.3 Operator Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Orders of Magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Consistency with Other Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1.1 Review: Harmonic Oscillator in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . 5.6.1.2 Evolution of the Means: Damped Quantum Harmonic Oscillator . . . . . 5.6.1.3 Evolution of the Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Rate-Equation Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.1 Saturation Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.2 Validity of the Rate-Equation Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Spectrum of Resonance Fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Scattering Cross Section, Line Shape, and Power Broadening . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Coherent and Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Quantum Regression Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.1 Alternate Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Mollow Triplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.1 Off Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.2 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.3 Energy Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.4 Nonclassical Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Antibunching of Resonance Fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.6 Probe Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.6.1 Autler–Townes Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.6.2 Lamb Dip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Mechanical Effects of Light on Two-Level Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Atom-Field Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Adiabatic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3.1 Master-Equation Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3.2 Bragg Scattering in an Optical Standing Wave . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.4 Nonperturbative Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.5 Dressed-State Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6 Fluctuations of the Optical Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.1 Fokker–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.2 Diffusion Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.3 Quantum Regression Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.4 Interpretation of the Diffusion Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.5 Dressed-State Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.6 Examples: Plane and Standing Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.6.7 Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.7 Velocity Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.8 Doppler Cooling Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Bloch–Siegert Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Magic Wavelength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Three-Level Atom Interacting with a Classical Field 6.1 Stimulated Raman Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Effective Two-Level Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1.1 Cross-Couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Multiple Excited States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Velocity Selectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 6.1.5 Pulse-Shape Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5.1 Square Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5.2 Blackman Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6 Stimulated Raman Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6.1 Free Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6.2 Resolved-Sideband Raman Cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.7 Atom Interferometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Coherent Population Trapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 VSCPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Electromagnetically Induced Transparency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Stimulated Raman Adiabatic Passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Quantum Beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.1 Master Equations and Quantum Beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.2 Steady-State Quantum Beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atomic Angular-Momentum Structure 7.1 Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Operators and Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Ladder Operators and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Addition of Two Angular Momenta: Clebsch–Gordan Coefficients . . . . . . . . . . 7.1.3.1 Basis States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3.2 Transformation between Bases and Clebsch–Gordan Coefficients . . . . . 7.1.3.3 Calculation of Clebsch–Gordan Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3.4 Explicit Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3.5 Symmetry Relations and Wigner 3-j Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Addition of Three Angular Momenta: Racah Coefficients and Wigner 6-j Symbols . 7.1.4.1 Explicit Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4.2 Symmetry Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4.3 Addition of Four Angular Momenta: Wigner 9-j Symbols . . . . . . . . . 7.2 Static Angular-Momentum Structure of Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Fine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1.1 Spectroscopic Notation for Simple Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Hyperfine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Rotations and Irreducible Tensor Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Rotation Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.1 Rotation Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.2 Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.3 Clebsch–Gordan Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2.1 Sum Rule and Addition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2.2 Relation to the Rotation Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Irreducible Tensor Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.1 Spherical Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.2 General Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.3 Cartesian Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.4 Products of Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.5 Commutation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Wigner–Eckart Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4.1 Dipole Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4.2 Projection Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Hermitian Conjugates of Tensor Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5.1 Conjugates of Reduced Matrix Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 7.3.6 Relations Between Reduced Matrix Elements of Tensor Operators . . . . . . . . . . 7.3.6.1 Tensor Operator Acting on One Component . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6.2 Scalar Products of Tensor Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6.3 Matrix Elements of Tensor Products Operating on the Same System . . . 7.3.7 Application to Atomic Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.7.1 Decomposition and Calculation of Reduced Matrix Elements . . . . . . . 7.3.7.2 Fine-Structure Selection Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.7.3 Hyperfine Selection Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.7.4 Decay Rate and the Reduced Matrix Element . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Interaction with Static Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Static Magnetic Fields: Zeeman Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1.1 Anomalous Zeeman Effect: Weak Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1.2 Paschen–Back Effect: Strong Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1.3 Incomplete Paschen–Back Effect: Intermediate Fields . . . . . . . . . . . 7.4.2 Static Electric Fields: Stark Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2.1 Effective, First-Order Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2.2 Scalar Shift: Fine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2.3 Tensor Shift: Fine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2.4 Hyperfine Structure: Weak Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2.5 Hyperfine Structure: Stronger Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Interactions with Optical Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Atomic Fine-Structure Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Dipole and Atomic Lowering Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Dipole Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3.1 Magnetic-Sublevel Transitions: Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4 Dipole Interaction: Hyperfine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4.1 Atomic Hyperfine Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4.2 Atom–Field Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Angular Distribution of Dipolar Resonance Fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Angular-Distribution Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Spectral Tensor and Total Scattered Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.1 Hyperfine Structure and Interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Optical Stark Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Irreducible Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1.1 Scalar Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1.2 Vector Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1.3 Tensor Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Total Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2.1 Excited States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3 Example: Stark Shifts of the F = 1 −\rightarrow F ′ = 0 Transition . . . . . . . . . . . . . . 7.7.4 Polarizability Tensor Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.5 Large Detuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.5.1 Effective Dipole Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.5.2 Alkali Ground States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Atomic Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Fine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2 Hyperfine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3 Rate-Equation Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3.1 Single Field Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3.2 Multiple Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3.3 Hyperfine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Whither has Wandered the Two-Level Atom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1 Optical Pumping to Stretched States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 7.9.2 Optical Pumping with Linearly Polarized Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Quantum Light–Matter Interactions Quantization of the Electromagnetic Field 8.1 Classical Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Hamiltonian Structure of the Classical Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Action Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2.1 Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2.2 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Electromagnetic Lagrangian and Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3.1 Electromagnetic Functional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Quantization of a Single Field Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Quantization of Many Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Example: Quantization in a Perfectly Conducting Box . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Example: Quantization in Free Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Example: Quantization in Half Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Example: Quantization in a Spherical Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.1 Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.2 Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.3 Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.4 Vector Multipole Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Transverse and Longitudinal Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Helmholtz Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1.1 Coulomb Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Transverse and Longitudinal Delta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2.1 Momentum Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2.2 Position Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Field Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Free-Space Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1.1 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1.2 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1.3 Equal-Time Commutators in Free Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Half-Space Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Unconfined Mode Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Hamiltonian Viewpoint of Electromagnetic Gauge Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2 Hamilton Equations and Gauge Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.3 Continuity Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Quantization with Dielectric Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 Fresnel Coefficients: Modes of a Planar, Dielectric Interface . . . . . . . . . . . . . 8.9.1.1 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1.2 TE Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1.3 TM Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.2 Quantum Fields at a Planar Dielectric Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.2.1 Hamiltonian Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.2.2 Mode Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.2.3 Quantized Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.3 Transverse and Longitudinal Fields: Dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.3.1 Scalar Green Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 8.9.3.2 Transverse and Longitudinal Fields: Free Space . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.3.3 Scalar Green Function: Dielectric Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.3.4 Dielectric Transverse and Longitudinal Fields: Green-Function Form . . . 8.9.3.5 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atomic Interaction with the Quantized Field 9.1 Lorentz Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Quantization and Minimal Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Dipole Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Power–Zienau Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1.1 Electric Displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1.2 Active and Passive Viewpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1.3 Göppert-Mayer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2

\[ p \cdot A vs. r \cdot E \]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Why the Vector Potential? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Multipole Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Atomic Polarization Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Atomic Magnetization Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 Power–Zienau Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3.1 Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3.2 Canonical Electron Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3.3 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Electric Multipole Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5 Magnetic Multipole Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Center-of-Mass Röntgen Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2 Center-of-Mass Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.3 Transformation: Electric Dipole Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.4 Full Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.4.1 Effecting the General Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.4.2 Final Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Cavity QED and the Jaynes–Cummings Model 10.1 Single Cavity Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Dressed States and the Vacuum Rabi Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Photon Blockade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Atom-Photon ‘‘Molecule’’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Refinements of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Spontaneous Emission 11.1 Atom–Field Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Large-Box Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Decay Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Master Equation for Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Fermi’s golden rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Free-Space Decay Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 11.7 Corrections to Exponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.1 Short Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.1.1 Quantum Zeno Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.2 Long Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Coupled-Mode Theory 12.1 Cavity QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Classical Field in a Single Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Classical Coupled Modes of Two Cavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Quantization of the Coupled Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Cavity Driven by a Classical Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4.1 Cavity Decay Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5 Cavity Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5.1 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Input–Output Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Quantum Langevin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1.1 Evolution of the Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Output Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Input–Output Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 General Heisenberg Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.6 Example: Reflections from a Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.7 Example: Cavity Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.8 Example: Driven Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.9 Example: Atomic Motion in an Optical Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.9.1 Adiabatic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Mechanical Effects of the Quantum Vacuum 13.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Atom–Vacuum Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Large-Box Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Thomas–Reiche–Kuhn Sum Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Spherical Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Excited-Level Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.1 Classical Antenna Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 Power–Zienau Transformation in Half-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9 Calculation in the Coulomb Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11 Numerical Evaluation: 87Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.1 Tabulated Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12 Lamb Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.1 Coulomb Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.1.1 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.2 Electric Dipole Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.2.1 Dipole Self-Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.2.2 Mass Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 13.13 Casimir–Polder Potential for a Rarefied Dielectric Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1 TE Energy Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1.1 Digression: Back to the Perfect Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1.2 Integral for the Rarefied Dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.2 TM Energy Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.2.1 Digression: TM Energy Density for the Perfect Conductor . . . . . . . . . 13.13.3 Total Casimir–Polder Potential for a Polarizable Atom . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.4 Magnetic-Field Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.4.1 Magnetic TE Energy Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.4.2 Magnetic TM Energy Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.4.3 Total Magnetic and Electromagnetic Energy Densities . . . . . . . . . . . 13.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 QED with Dielectric Media 14.1 Classical Electrodynamics in Dielectric Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Effective Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Linear, Dispersive Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2.1 Frequency Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2.2 Time Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3 Classical Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3.1 Example: Green Tensor in Free Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3.2 Green Tensor in Free Space: Alternate Forms . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3.3 Derivation of the Formula for the Dipole Radiation Field . . . . . . . . . 14.1.4 Permittivity Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.4.1 Energy Loss and Poynting’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.4.2 Kramers–Kronig Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.4.3 Imaginary Frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Generalized Susceptibility and Linear-Response Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Atom and Field Susceptibilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Atom–Surface Potentials Near Dielectric Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Kramers–Heisenberg Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2.1 Mode Expansion of the Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Interaction Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5 Planar Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.1 Reflection Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.2 Scattering Green Tensor Due to the Planar Interface . . . . . . . . . . . . 14.3.5.3 Explicit Expressions for the Atom–Surface Potential . . . . . . . . . . . . 14.3.5.4 Perfect-Conductor Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.5 Near-Field Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.6 Far-Field Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.7 Asymmetric Atoms and Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.8 Dielectric Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5.9 Metallic Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.6 Perfectly Conducting, Spherical Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.7 Ground-State Atom–Atom Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.7.1 Near-Field van der Waals–London Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.7.2 Far-Field Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.7.3 General Form for Scalar Polarizabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.7.4 Three-Atom Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8 Temperature Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 14.3.8.1 Fluctuation–Dissipation Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8.2 Fluctuation–Dissipation Example: Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8.3 Temperature-Dependent Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8.4 Imaginary Time and the Low-Temperature Limit . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8.5 High-Temperature Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8.6 Planar Boundaries at Nonzero Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.9 Excited-Level Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.9.1 Example: Spherically Symmetric Atom, Perfectly Conducting Plane . . . 14.3.10 Lifetime Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.10.1 Decay Rate Near a Macroscopic Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.10.2 Free Space: Green-Tensor Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.10.3 Planar Reflector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Casimir Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Casimir Energy of Dispersive Dielectric Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.1 Induced Interaction Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.2 Assembling a Dielectric Medium, Atom by Atom . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.3 Conversion to Permittivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.4 Introduction of the Dielectric Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.5 Explicit Permittivity Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.6 Free-Space Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.7 Reduction to the Casimir–Polder Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1.8 Temperature Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Resolvent Operator 15.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Green Functions for the Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Energy-Space Green Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Time-Dependent Green Functions and Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Relation to Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Transitions Between Discrete States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Example: Rabi Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Level-Shift Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Decomposition of the Level-Shift Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.2 Perturbation Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Spontaneous Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 Pole Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Line Shape of Spontaneous Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.3 Branches of the Resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.4 Nonexponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.5 Frequency-Dependent Decay Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.6 Branch Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.7 Pole Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.8 Short Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.8.1 Hard Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.8.2 Soft Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.9 Intermediate Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.10 Interpretation of Nonexponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Spontaneous Raman Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Weak Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.2 Strong Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.3 General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 16 Photodetection 16.1 Counting Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Beam Splitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Collision of One Photon and a Beam Splitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Two-Photon Interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Simple Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Coherence Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2.1 Quantum Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2.2 Pulse-Annihilation Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2.3 Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2.4 Interference of Coherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Stochastic Trajectories in Quantum Mechanics 17 Stochastic Processes 17.1 Finite Random Walks, Diffusion, and the Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Two-Step Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1.1 Example 1: Convolution with a Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1.2 Example 2: Convolution of Box Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2 Convolution Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2.1 Example: Convolution of Two Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3 Proof of the Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3.1 Example: Square Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3.2 Application: Standard Deviation of the Mean . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.4 Variances Add in Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.5 A Walk on the Cauchy Side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6 Arbitrary Combinations of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6.1 Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6.2 Transformation of Surface Delta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6.3 Direct Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6.4 Chain Rule for Coordinate Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6.5 Probability Density for Combinations of Random Variables . . . . . . . . 17.1.6.6 Example: Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6.7 Example: Quotient of Normal Deviates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Continuous Random Walks: Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 It¯o Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 It¯o Rule: Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.3 Ensemble Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.4 Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.5 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.5.1 Fokker–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.5.2 Multidimensional Fokker–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.6 Ornstein–Uhlenbeck Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.6.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Stratonovich Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.1 Example: Stochastic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.2 It¯o–Stratonovich Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.3 Stratonovich Calculus and the Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.4 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 The Poisson Process Implies the Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 17.5.2 Inhomogeneous Poisson Process and State Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.3 White-Noise Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.3.1 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Particle Subject to a Stochastic Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1 Free-Particle Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2 Thermal Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.3 Strong-Damping Limit: Brownian Motion Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.3.1 Momentum Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Stochastic Boundary-Value Problems: Brownian Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.1 Finite Bridge Generation: Homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.2 Finite Bridge Generation: Inhomogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.3 SDE and Integral Representations of the Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . 17.7.4 State-Dependent Diffusion in Brownian Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.4.1 Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.4.2 Lamperti Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.4.3 Temporal Rescaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8 Boundary Crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8.1 Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8.2 Standard Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8.3 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8.4 First-Passage Time of the Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.9 Escape Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.9.1 Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.9.2 Standard Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.9.3 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.10 Dirichlet Problem and Connection to Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.10.1 Laplace Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.10.2 Laplacian as Spherical Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.10.3 Poisson Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.1 Proof: Simple Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.2 Proof: Diffusion with Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.3 Proof: Diffusion with Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.4 Proof: Diffusion with Damping and Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.5 Other Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.5.1 General form for State-Dependent Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.11.5.2 Time-Dependent Drift and Diffusion: First Form . . . . . . . . . . . . . . 17.11.5.3 Time-Dependent Drift and Diffusion: Second Form . . . . . . . . . . . . . 17.12 Sojourn Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.1 Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.1.1 Arcsine Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.1.2 Alternate Arcsine Law: Last Crossing time . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.1.3 Alternate Arcsine Law: Maximum-Value Time . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.2 Standard Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.3 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.12.4 Path-Pinning Normalization as a Constrained Integration . . . . . . . . . . . . . . . 17.13 Local Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.1 Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.2 Standard Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.3 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.3.1 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.3.2 Moment-Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.3.3 Application to the Sojourn Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 17.13.4 Local Time and Discontinuities in Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.4.1 Reflected Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.4.2 Discontinuous Diffusion Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.4.3 Skew Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13.4.4 Reflections, Images, and Transition Densities for Skew Brownian Motion . 17.13.4.5 Stratonovich Discontinuous Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14 Bessel Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14.1 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14.2 Brownian Recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14.2.1 One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14.2.2 Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14.2.3 Three and More Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15 Differentiation of Stochastic Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.1 Parameter Differentiation and Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.1.1 Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.1.2 Application: Differentiation of Brownian-Bridge Path Averages . . . . . . 17.15.1.3 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.2 Stochastic Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.2.1 Example: Stochastic Derivative of the Wiener Process . . . . . . . . . . . 17.15.2.2 Example: Stochastic Derivative of Additive Diffusion . . . . . . . . . . . . 17.15.2.3 Variation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15.3.1 Digression: Faddeev–Popov Approach to Conditional Averages . . . . . . 17.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Quantum Trajectories for Photodetection 18.1 Quantum Jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Ensemble Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Quantum Trajectories and the Stochastic Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . 18.1.3 Information Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.4 Monte Carlo Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.5 Detector Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Homodyne Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 State Collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Quantum-State Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Measurement Record . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.4 Information Gain from the Measurement Record . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.5 Diffusion Form of the Stochastic Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.6 Balanced Homodyne Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.6.1 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.6.2 Measurement Record . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.7 Heterodyne Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.8 Detector Efficiency and Multiple Observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Conditioned Dynamics and Squeezing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Moment Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 Quadrature Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.4 Squeezing (or Lack Thereof) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.5 Homodyne Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.6 Heterodyne Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.7 Explicit Solutions for the Uncertainty Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.8 Phase Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.8.1 Adaptive Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 18.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Position Measurement 19.1 Prelude: General Form for the Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Positive Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Lindblad Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.3 Stochastic Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 A Second Prelude: Positive-Operator-Valued Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Discrete, Finite Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 General Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.4 Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.5 Example: Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.6 Example: Gaussian Projectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Continuous Position Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 State Collapse and the Stochastic Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1.1 Gaussian Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.2 Stochastic Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.3 Inefficient Detection and Multiple Observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.4 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.5 Linear Stochastic Evolution Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.5.1 Norm of the Linear Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.5.2 Interpretation of the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.5.3 Explicit Solutions of Measurement Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Imaged Resonance Fluorescence as a Position Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.1 Center-of-Mass Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.2 Imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.2.1 Example: 4\pi Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.2.2 Example: Small Gaussian Aperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.3 Adiabatic Elimination of the Internal Atomic State . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.3.1 Internal Quasi-Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.3.2 External Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.4 White-Noise Limit: Gaussian Aperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.4.1 Spatial Continuum Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.4.2 Quantum-State Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.4.3 Diffusion Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Position Measurement via Excitation by a Local Probe Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.1 Localized Probe Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.2 Scanning Probe Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.3 Example: Gaussian Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 Continuous Momentum Measurement by EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.1 General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.2 Homodyne Detection of the EIT Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.3 Adiabatic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.4 Spontaneous Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.5 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.6 Detection Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Path Integration 20.1 Feynman Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Dividing the Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 20.1.2 Splitting the Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 Functional Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.4 Phase-Space Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.5 Example: Free-Particle Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Semiclassical Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1.1 Gel’fand–Yaglom Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1.2 Van Vleck–Morette Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Example: Semiclassical Propagator for the Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . 20.2.2.1 Classical Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2.2 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Monte-Carlo Methods in Quantum Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.1 Path Integral as Ensemble Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.1.1 Alternate Normalization of the Periodic Path . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.1.2 YANPP (Yet Another Normalization of the Periodic Path) . . . . . . . . 20.3.2 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.3 Thermal Density Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.3.1 Example: Free-Particle Thermal State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.3.2 Example: Partition Function of an Infinite Square Well . . . . . . . . . . 20.3.4 Propagator Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Ordering Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.1 Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.1.1 Basic Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.1.2 Coordinate Transformation and Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.1.3 ‘‘Natural’’ Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.2 Point Transformations of the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.2.1 Midpoint (Stratonovich) Expansion of the Path Integral . . . . . . . . . . 20.4.2.2 Pre-Point (It¯o) Expansion of the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.2.3 ‘‘Moment’’ Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.2.4 Midpoint–Pre-point Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.2.5 Discussion: Integration Under Different Path Measures . . . . . . . . . . 20.4.2.6 Cameron–Martin–Girsanov Transformation and Drift Potentials . . . . . 20.4.3 Operator Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.3.1 It¯o Calculus and p-x Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.3.2 Anticipating Calculus and x-p Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.3.3 Stratonovich Calculus and Weyl Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.3.4 Symmetrized Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.3.5 Product Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.3.6 Equivalence Classes of Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.4 Normalizing the Weyl-Ordered Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.4.1 A Similar Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Path-Integral Calculation of Casimir Energies 21.1 Scalar Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Quantum Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2.1 Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2.2 Partition-Function Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Path Integral of the Quantum Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3.1 Momentum Projectors and Imaginary Time . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Reduction of the Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4.1 Evaluation of the Gaussian Functional Integral . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 21.1.4.2 Digression: Second Quantization and Mode Summation . . . . . . . . . . 21.1.4.3 Digression Part II: Mode Summation of the Functional Determinant . . . 21.1.4.4 Integral Representation of the Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4.5 Particle Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4.6 Monte-Carlo Integration and Stochastic ‘‘Loops’’ . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Analytic Evaluation of Scalar Casimir Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5.1 Strong-Coupling Limit: Atom–Plane Interaction . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5.2 Strong-Coupling Limit: Atomic Interaction with Two Planes . . . . . . . 21.1.5.3 Strong-Coupling Limit: Plane–Plane Interaction . . . . . . . . . . . . . . 21.1.6 World Lines at Finite Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.6.1 Example: Temperature-Dependent Atom–Planar-Conductor Potential . . 21.2 Worldlines and the Relativistic Scalar Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Reparameterization Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Quadratic Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3.1 Massless-Particle World Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3.2 Variable-Mass Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4 Constrained Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4.1 Gauge Fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4.3 Variable-Mass Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.5 Klein–Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.6 Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.6.1 Proper-Time Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.6.2 Imaginary Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Electromagnetic Casimir Energies as Path Integrals 22.1 Scalar Representation of Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Planar Interface: TE polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Planar Interface: TM polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Interaction Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1 Maxwell Equations in Magnetodielectric Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2 Interaction Energies for Magnetodielectric Materials: Static Fields . . . . . . . . . . 22.2.2.1 Static-Electric-Field Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.2 Static-Magnetic-Field Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.3 Variation of Dielectric Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.4 Variation of Magnetic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.5 Interpretation of Minus Signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.6 Small Material Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.7 Application to Casimir–Polder Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2.8 Functional Derivatives and Expectation Values: A Second Look . . . . . . 22.2.3 Hamiltonian Structure of Electromagnetism and Linear Materials . . . . . . . . . . 22.2.3.1 Material Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Development of the Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.1 Gaussian Field Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.2 Imaginary-Time Green Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.3 Rescaling the Green Operator: Coupling to the Potential . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.4 Worldline Form of the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.4.1 Recap: Normalization of the Particle Path Integral . . . . . . . . . . . . . 22.3.4.2 Normalization of the Worldline Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.4.3 Alternate Derivation of the Normalized Path Integral: Space-Dependent Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 22.3.5 Worldline Path Integral for Casimir–Polder Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.5.1 Interaction with a Point Particle: Path-Integral View (TE Polarization) . 22.3.5.2 Interaction with a Point Particle: Path-Integral View (TM Polarization) . 22.4 Casimir–Polder Potential Near a Dielectric Half-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.1 TE Polarization: Strong Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.2 TE Polarization: Weak Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.3 TE Polarization: General Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.4 TM Polarization: Strong Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.4.1 Fluctuations and the Interface Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.5 TM Polarization: Weak Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Fresnel Reflection Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.1 TE Reflection Coefficient: Vacuum–Dielectric Interface . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.1.1 Vacuum-Side Reflection (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.1.2 Dielectric-Side Reflection (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.2 TM Reflection Coefficient: Vacuum–Dielectric Interface . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.2.1 Vacuum-Side Reflection (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.2.2 Dielectric-Side Reflection (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6 Laplace–Mellin Method for Evaluating Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6.1 Laplace and Mellin Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6.2 Laplace Transform and Inverse Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6.3 Feynman–Kac Formula: Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6.4 Application to Worldline Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7 TE Casimir–Polder Path Integral: Dielectric Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.1 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.2 Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.3 Inverse Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.4 Result: 3D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.5 Result: 1D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8 Evaluation of the TM Interface Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.1 Regularized TM Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.2 Model Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.3 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.3.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.3.2 Boundary Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.3.3 Overall Scaling of the Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.3.4 Sharp-Interface Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.4 Weak-Coupling Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.5 Transfer-Layer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.6 Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.6.1 Comparison to Strong-Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.7 Generalization for Open Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.7.1 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.7.2 Inversion of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8.8 Assembling Closed Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 TM Casimir–Polder Path Integral: Dielectric Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.2 Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.3 Inverse Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.4 Result: 3D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.4.1 Digression: Derivative-Free Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.5 Result: 1D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.6 Casimir–Polder Potential: Full Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10 Casimir–Polder Potentials Within Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 22.10.1 TE Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.1.1 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.1.2 Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.1.3 Inverse Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.1.4 Result: 3D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.1.5 Result: 1D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.2 TM Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.2.1 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.2.2 Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.2.3 Inverse Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.2.4 Result: 3D Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10.2.5 Casimir–Polder Efficiencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.11 Electric vs. Magnetic Casimir–Polder Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.11.1 Dielectric Particle, Magnetic Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.11.1.1 Weak-Coupling Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.11.2 Magnetic Particle, Magnetic Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.11.3 Magnetic Particle, Dielectric Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12 Casimir Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1 TE Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.1 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.2 Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.3 Inverse Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.4 Spatial Integration and Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.5 Casimir Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.6 Small-\chi Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.1.7 Casimir–Polder Potential: Two Parallel Planes . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.2 TM Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.2.1 Small-\chi Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.12.2.2 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Numerical Methods in Quantum Optics 23 Welcome to the Machine 23.1 Finite Representations of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Machine Structure and Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 Memory Hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 Pipeline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2.1 Out-of-Order Execution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2.2 Loop Unrolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2.3 Branch Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2.4 Addition, Multiplication, and Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3 Avoiding Overhead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3.1 Procedure Inlining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3.2 Compiler Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.4 Parallel Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.5 Tuning Your Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ordinary Differential Equations 24.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.2 O and o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 24.1.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.3 Convergence and Scaling of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.3.1 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.3.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Euler Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Local and Global Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.2 Implicit Euler Method and Stiff Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Runge–Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1 Second-Order Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1.1 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.2 Fourth-Order and General Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.3 Implicit Runge–Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.4 Adaptive Stepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4 Multistep and Predictor–Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Fourier Transforms 25.1 Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.1 Critical Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.2 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.1 Periodicity and Transform Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5.1 Temporal Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5.2 Temporal Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5.3 Standard Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5.4 Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.6 Discrete Wigner Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Split-Operator Methods 26.1 Splitting the Unitary Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Time-Dependent Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Richardson Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.1 Numerical Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Unitary Evolvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.1 Hierarchical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.1.1 High-Order Methods with Reduced Substep Intervals . . . . . . . . . . . 26.4.1.2 High-Order Minimal-Product Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.1.3 High-Order Treatment of Time-Dependent Potentials . . . . . . . . . . . 26.4.1.4 Numerical Test: Fourth Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.1.5 Numerical Test: Sixth Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.2 Nonlinear Schrödinger Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.3 Symplectic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.3.1 Euler–Cromer Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.3.2 Verlet Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.3.3 Higher Order Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.3.4 Time-Dependent Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Stochastic Differential Equations 27.1 Stochastic Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 27.1.1 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Milstein Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.1 Multiplicative vs. Additive Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Stochastic Taylor Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.1 Single and Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.2 Multiple It¯o Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.3 Expression for the Taylor Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.4 Multiple Wiener Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4 Stochastic Runge–Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Implicit Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.6 Strong and Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.7 Consistent Brownian Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.7.1 Consistent Multiple It¯o Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.7.1.1 Lévy Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.7.1.2 Direct Refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8 Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.1 Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.1.1 L’Ecuyer’s Multiple Recursive Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.1.2 Knuth’s Lagged-Fibonacci Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.1.3 Mersenne Twister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.1.4 Randomizing Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.2 Gaussian Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.3 Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.3.1 Angular Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.3.2 Exponential Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.3.3 Power-Law Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8.3.4 Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index